【题目】已知函数f(x)=xex﹣1﹣a(x+lnx),a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴,求a的值:
(2)在(1)的条件下,求f(x)的单调区间;
(3)若x>0,f(x)≥f(m)恒成立,且f(m)≥0,求证:f(m)≥2(m2﹣m3).
【答案】
(1)解:f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=ex﹣1+xex﹣1﹣a(1+ ),
故f(1)=1﹣a,f′(1)=2﹣2a,
故切线方程是:y﹣(1﹣a)=(2﹣2a)(x﹣1),
即y=(2﹣2a)x+a﹣1;
由2﹣2a=0,且a﹣1=0,解得:a=1
(2)解:由(1)得a=1,f′(x)=(x+1)(ex﹣1﹣ ),
令g(x)=ex﹣1﹣ ,x∈(0,+∞),
∵g′(x)=ex﹣1+ >0,故g(x)在(0,+∞)递增,
又g(1)=0,x∈(0,1)时,g(x)<g(1)=0,
此时f′(x)<0,f(x)递减,
x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=0,此时f′(x)>0,f(x)递增,
故f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增
(3)解:f′(x)=(x+1)(ex﹣1﹣ ),
令h(x)=ex﹣1﹣ ,x∈(0,+∞),
①a≤0时,h(x)>0,此时f′(x)>0,f(x)递增,无最小值,
故a≤0不合题意;
②a>0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,
取实数b,满足0<b<min{ , },
则eb﹣1< = ,﹣ <﹣2,
故h(b)=eb﹣1﹣ < ﹣2<0,
又h(a+1)=ea﹣ >1﹣ = >0,
∴存在唯一的x0∈(b,a+1),使得h(x0)=0,即a=x0 ,
x∈(0,x0)时,h(x)<h(x0)=0,此时f′(x)<0,f(x)递减,
x∈(x0,+∞)时,h(x)>h(x0)=0,此时f′(x)>0,f(x)递增,
故x=x0时,f(x)取最小值,
由题设,x0=m,故a=mem﹣1,lna=lnm+m﹣1,
f(m)=mem﹣1(1﹣m﹣lnm),
由f(m)≥0,得1﹣m﹣lnm≥0,
令ω(m)=1﹣m﹣lnm,显然ω(x)在(0,+∞)递减,
∵ω(1)=0,∴,1﹣m﹣lnm≥0,故0<m≤1,
下面证明em﹣1≥m,令n(x)=em﹣1﹣m,则n′(m)=em﹣1﹣1,
m∈(0,1)时,n′(x)<0,n(x)在(0,1)递减,
故m∈(0,1]时,n(m)≥n(1)=0,即em﹣1≥m,
两边取对数,得lnem﹣1≥lnm,即m﹣1≥lnm,﹣lnm≥1﹣m,
故1﹣m﹣lnm≥2(1﹣m)≥0,
∵em﹣1≥m>0,∴f(m)=mem﹣1(1﹣m﹣lnm)≥m2,2(1﹣m)=2(m2﹣m3),
综上,f(m)≥2(m2﹣m3
【解析】(1)求出函数f(x)的对数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;(2)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(3)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间,从而证明不等式即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题.
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【题目】某校的学生记者团由理科组和文科组构成,具体数据如下表所示:
组别 | 理科 | 文科 | ||
性别 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
人数 | 4 | 4 | 3 | 1 |
学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访,每选出一名男生,给其所在小组记1分,每选出一名女生则给其所在小组记2分,若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有.
(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率?
(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.
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【题目】已知椭圆 C: =1( a>b>0)经过点 (1, ),离心率为 ,点 A 为椭圆 C 的右顶点,直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点P (x1 , y1),Q (x2 , y2).
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)当 =0 时,求△OPQ 面积的最大值;
(Ⅲ)若直线 l 的斜率为 2,求证:△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为g(x)的导函数,对x∈R,总有g′(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为 .
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【题目】函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象( )
A.向左平移 个单位长度
B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度
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【题目】某科技博览会展出的智能机器人有 A,B,C,D 四种型号,每种型号至少有 4 台.要求每 位购买者只能购买1台某种型号的机器人,且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的.现在有 4 个人要购买机器人.
(Ⅰ)在会场展览台上,展出方已放好了 A,B,C,D 四种型号的机器人各一台,现把他们 排成一排表演节目,求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率;
(Ⅱ)设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ,求ξ 的分布列和数学期望.
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【题目】近年来,手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品,手机的功能也日趋完善,已延伸到了各个领域,如拍照,聊天,阅读,缴费,购物,理财,娱乐,办公等等,手机的价格差距也很大,为分析人们购买手机的消费情况,现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查,统计如下:
年龄 价格 | 5000元及以上 | 3000元﹣4999元 | 1000元﹣2999元 | 1000元以下 |
45岁及以下 | 12 | 28 | 66 | 4 |
45岁以上 | 3 | 17 | 46 | 24 |
(Ⅰ)完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表,再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为人们使用手机的价格和年龄有关?
(Ⅱ)从样本中手机价格在5000元及以上的人群中选择3人调查其收入状况,设3人中年龄在45岁及以下的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列及数学期望.
附K2=
P(K2≥k) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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