Question

12．△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，且3acosA=$\sqrt{6}$（bcosC+ccosB）．
（1）求tan2A的值；
（2）若$sin（\frac{π}{2}+B）=\frac{1}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理，结合两角的和差公式和正切的二倍角公式，计算即可得到；
（2）运用诱导公式和两角的和差公式，以及正弦定理和面积公式，即可得到所求值．

解答 解：（1）由正弦定理得3sinAcosA=$\sqrt{6}$（sinBcosC+sinCcosB），
即有$3sinAcosA=\sqrt{6}sin（B+C）$=$\sqrt{6}$sinA，
得$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}$=2$\sqrt{2}$；
（2）若$sin（\frac{π}{2}+B）=\frac{1}{3}$，
即有$cosB=\frac{1}{3}，sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
${sinC}=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
又$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得$a=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}，b=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，
则${S_△}=\frac{1}{2}absinC=\frac{8}{5}\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换的运用，考查运算能力，属于中档题．