Question

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设商品降价x元，根据每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比，求出比例系数，得到每星期多卖的商品数，再根据销售利润=销售收入-成本，列出函数关系式，即可得到答案；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，判断出用导数求最值，即求出f'（x）=0的根，比较根的函数值与区间端点的函数值的大小，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）设商品降价x元，记商品在一个星期的获利为f（x），
∵每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比，
∴每个星期多卖的商品数为kx²，
∵商品售价降低2元时，一星期多卖出24件，则24=k•2²，
∴k=6，
∴每个星期多卖的商品数为6x²，
∴f（x）=（30-x-9）（432+6x²）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，21]；
（Ⅱ）根据（1），则f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12），
令f'（x）=0，解得x=2或x=12，
∵f（0）=9072，f（2）=8664，f（12）=11664，f（21）=0，
∴当x=12时，f（x）取得最大值11664，
所以定价为18元才能使一个星期该商品的销售利润最大．

点评：本题主要考查了根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．利用导数求函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．