Question

【题目】椭圆的顶点为，左、右焦点分别为、，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）M为椭圆C上一动点，是椭圆C长轴上的一个点，直线MQ与椭圆C的另一个交点为N，令，若t值与点M的位置无关，则称此时的点Q为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和

【解析】

（1）由题意可得，直线，联立即可求出，再求出即可得解；

（2）当直线斜率不为0时，设直线MQ，，，联立方程得，，转化条件，，则，化简即可得解，再验证对于依然成立即可.

（1）点B在x轴上的射影恰好为点，椭圆顶点为，，

，，直线，

解得或（舍去），.

椭圆C的标准方程为.

（2）当直线斜率不为0时，设直线MQ，，，不妨设，

则，消去得，，

则，，

由弦长公式得，，

，

当即时，为定值.

又 当，直线MQ方程为时，或，.

该椭圆稳定点为和.