Question

已知等比数列{a_n}满足：a₃+a₄+a₅=28，且a₄+2是a₃、a₅的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}单调递减，其前n项和为S_n，求使S_n＞127成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，首项为a₁依题意有2（a₄+2）=a₃+a₅，a₃+a₄+a₅=28，且a₄+2是a₃、a₅的等差中项．由此能够推导出a_n．
（Ⅱ）求出S_n由题意可得 S_n＞127，由此能求出满足条件的n的最小值．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，有2（a₄+2）=a₃+a₅，
代入a₃+a₄+a₅=28，，得a₄=8
∴a₃+a₅=20，．               …（2分）
∴

a1q2+a1q4=20  a1q3=8

解之得

q=2 a1=1

或

q= 1 2 a1=64

  …（6分）
∴a_n=2^n-1或a_n=2^7-n．              …（8分）
（II）又{a_n}单调递减，∴

q= 1 2 a1=64

．   …（9分）
则Sn=

64(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)． …（10分）
∴128(1-

1

2n

)＞127，即128-

1

2n

＜1，∴2ⁿ＞128，
∴n＞7．
故使S_n＞128成立的正整数n的最小值为8．…（12分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．