Question

【题目】已知f（x）=logax，g（x）=loga（2x+t﹣2）2 ， （a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=4，x∈[1，2]时F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值为2，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
（备注：函数y=x+ 在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：f（x）=logax，g（x）=loga（2x+t﹣2）2，（a＞0，a≠1，t∈R）．

那么：F（x）=g（x）﹣f（x）=loga（2x+t﹣2）2﹣logax=loga ，

当t=4时，F（x）= ，x∈[1，2]，

设h（x）= = ，x∈[1，2]，则：F（x）=logah（x）．

由于y=x+ 在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，

∴h（x）在x∈[1，2]上是增函数．

∴h（x）的最大值为h（2）max=18，

h（x）的最小值为h（1）min=16，

当0＜a＜1时，F（x）是减函数，F（x）的最小值为F（x）min=loga18=2，

解得：a= （不符合）

当a＞1时，F（x）是增函数，F（x）的最小值为F（x）min=loga16=2，

解得：a=4，满足题意．

因此a的值为4

（2）解：当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，

那么：logax≥loga（2x+t﹣2）2恒成立，即 在x∈[1，2]时恒成立

∴t≥﹣2x +2．

令u（x）=﹣2x +2=﹣2（ ）2+ ，

∵x∈[1，2]，

∴

当 时，u（x）取得最大值为u（x）max=u（1）=1

故得实数t的取值范围是[1，+∞）

【解析】（1）化简成函数，可得函数是对数的复合函数，对底数进行讨论，利用对数函数的性质即可求解．（2）要使f（x）≥g（x）恒成立，利用对数函数的单调性，分离参数，可求实数t的取值范围．