Question

（2012•盐城一模）若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是

(-∞，

1

e2

]

．

Answer 1

分析：设f（x）=lnx-kx-1，将方程kx+1=lnx有解问题转化为函数f（x）有零点问题，进而利用导数研究函数f（x）的单调性和极值，找到使函数有零点的k的范围

解答：解：设f（x）=lnx-kx-1
则f′（x）=

1

x

-k=

1-kx

x

  （x＞0）
若k≤0，则f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，∵x→0时，f（x）→-∞，∴f（x）有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx有解
若k＞0，则f（x）在（0，

1

k

）上为增函数，在（

1

k

，+∞）上为减函数
要使函数f（x）有零点，需f（

1

k

）≥0
即-lnk-2≥0
解得：k≤

1

e2

∴0＜k≤

1

e2

时，f（x）有零点，即此时方程kx+1=lnx有解
综上所述：k≤

1

e2

故答案为 （-∞，

1

e2

]

点评：本题主要考查了方程的根与函数零点间的关系，构造函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法