Question

13．已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0}，若A∩B=（3，4]，A∪B=R，则$\frac{b^2}{a}+\frac{a}{c^2}$的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出不等式的解，根据集合关系求出a，b，c的值，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
∵A∩B=（3，4]，A∪B=R，
∴-1，4是方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＞0，
则-1+4=-$\frac{b}{a}$=-3，即b=3a，
-1×4=$\frac{c}{a}$，即c=-4a，
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a}{c^2}$=9a+$\frac{1}{16a}$≥2$\sqrt{9a•\frac{1}{16a}}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当9a=$\frac{1}{16a}$，即a=$\frac{1}{12}$时，取等号，
故最小值为$\frac{3}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查集合的基本运算，根与系数的关系以及基本不等式的应用，根据条件求出a，b，c的关系是解决本题的关键．