Question

2．已知数列{a_n}是等差数列，公差d不为0，S_n是其前n项和，若a₃，a₄，a₈成等比数列，则下列四个结论
①a₁d＜0；②dS₄＜0；③S₈=-20S₄；④等比数列a₃，a₄，a₈的公比为4．其中正确的是①②④．（请把正确结论的序号全部填上）

Answer 1

分析 由题意求出等差数列的首项和公差的关系，然后逐一核对四个命题得答案．

解答 解：由a₃，a₄，a₈成等比数列，得${{a}_{4}}^{2}={a}_{3}{a}_{8}$，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+7d）$，
整理得：${a}_{1}=-\frac{5}{3}d$．
∴${a}_{1}d=-\frac{5}{3}{d}^{2}＜0$，①正确；
$d{S}_{4}=d（4{a}_{1}+\frac{4×3d}{2}）$=$d（-\frac{20}{3}d+6d）=-\frac{{2d}^{2}}{3}＜0$，②正确；
${S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{8×7d}{2}=8×（-\frac{5}{3}d）+28d$=$\frac{44}{3}d$，$-20{S}_{4}=-20（4{a}_{1}+\frac{4×3d}{2}）$=$-20（-\frac{20d}{3}+6d）=\frac{40d}{3}$，③错误；
等比数列a₃，a₄，a₈的公比为q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{-\frac{5}{3}d+3d}{-\frac{5}{3}d+2d}=\frac{\frac{4d}{3}}{\frac{d}{3}}=4$，④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及其前n项和，考查了计算能力，是中档题．