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已知函数f(x)=ax+1-3(a>0且a≠1)的反函数的图象恒过定点A,且点A在直线mx+ny+1=0上,若m>0,n>0.则
1
m
+
2
n
的最小值为
 
分析:最值问题经常利用均值不等式求解,适时应用“1”的代换是解本题的关键.函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)的反函数图象恒过定点A,知A(-2,-1),点A在直线mx+ny+1=0上,得2m+n=1又mn>0,∴m>0,n>0,下用1的变换构造出可以用基本不等式来求求最值.
解答:解:由已知定点A坐标为(-2,-1),由点A在直线mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,
又mn>0,∴m>0,n>0,
1
m
+
2
n
=(
1
m
+
2
n
)(2m+n)=
2m+n
m
+
4m+2n
n
=4+
n
m
+
4m
n
≥4+2•
n
m
4m
n
=8

当且仅当m=
1
4
,n=
1
2
时取等号.
故答案为8
点评:当均值不等式中等号不成立时,常利用函数单调性求最值.也可将已知条件适当变形,再利用均值不等式,使得等号成立.均值不等式是不等式问题中的确重要公式,应用十分广泛.在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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34
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(-∞,-2)
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