Question

已知b函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）本题要求先判断出函数的单调性，再由定义法证明函数的单调性，故应注意做题格式，用定义法证明单调性时要遵循证明的逻辑关系，其步骤是：取→作差→判号→得出结论．
（2）当a=

1

2

时，先证出函数的单调性，再由函数的单调性判断出函数在[1，+∞）的最值．求解本题时要注意区间[1，+∞）无右端点．

解答：解：（1）当a＜0时，函数f（x）是[1，+∞）单调增函数．（1分）
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由单调性定义知f（x）为[1，+∞）单调增函数．（8分）
（2）当a=

1

2

时，同理可证f（x）在[1，+∞）是增函数，（10分）
∴当x=1时，f（x）的最小值为f(1)=

7

2

（12分）
又f（x）无最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值为

7

2

．（15分）
（若用导数处理则类似给分）

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．