分析 (1)an=3n,则an+1=an+3,n∈N*.由bn=3•5n,n∈N*,可得bn+1=5bn,n∈N*.利用“Q类数列”定义即可判断出;
(2)若数列{an}是“Q类数列”,则存在实常数p,q,使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,即可证明;
(3)an+an+1=3t•2n(n∈N*),t为常数,可得a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,…,a2014+a2015=3t•22014.利用等比数列的前n项和公式可得数列{an}前2015项的和S2015=2+t•(22016-4).若数列{an}是“Q类数列”,则存在实常数p,q.使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立,可得3t•2n+1=3t•2n+2q对于任意n∈N*都成立,可以得到t(p-2)=0,q=0,分类讨论即可得出.
解答 (1)解:∵an=3n,则an+1=an+3,n∈N*,
故数列{an}是“Q类数列”,对应的实常数分别为1,3.
∵bn=3•5n,n∈N*,
则bn+1=5bn,n∈N*.
故数列{bn}是“Q类数列”,对应的实常数分别为5,0.
(2)证明:若数列{an}是“Q类数列”,则存在实常数p,q,
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立,
故数列数列{an+an+1}也是“Q类数列”,对应的实常数分别为p,2q.
(3)解:an+an+1=3t•2n(n∈N*),t为常数,
则a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,…,a2014+a2015=3t•22014.
故数列{an}前2015项的和S2015=2+3t(22+24+…+22014)=2+$3t•\frac{4({4}^{1007}-1)}{4-1}$=2+t•(22016-4).
若数列{an}是“Q类数列”,则存在实常数p,q.
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立,
而${a}_{n}+{a}_{n+1}=3t•{2}^{n}$,且an+1+an+2=3t•2n+1,
则3t•2n+1=3t•2n+2q对于任意n∈N*都成立,可以得到t(p-2)=0,q=0,
(1)当p=2,q=0时,an+1=2an,${a}_{n}={2}^{n}$,t=1,经检验满足条件.
(2)当t=0,q=0 时,an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1经检验满足条件.
因此当且仅当t=1或t=0,时,数列{an}也是“Q类数列”. 对应的实常数分别为2,0,或-1,0.
点评 本题考查了新定义“Q类数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式”,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | π |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1 | B. | 1 | C. | 2 | D. | $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $[{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2},2})$ | B. | $[{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2},+∞})$ | C. | (-1,2) | D. | $({-∞,\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}}]$ |
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