Question

17．对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“Q类数列”．
（1）若a_n=3n，b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“Q类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{a_n}是“Q类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“Q类数列”；
（3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2015项的和．并判断{a_n}是否为“Q类数列”，说明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n=3n，则a_n+1=a_n+3，n∈N^*．由b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，可得b_n+1=5b_n，n∈N^*．利用“Q类数列”定义即可判断出；
（2）若数列{a_n}是“Q类数列”，则存在实常数p，q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，即可证明；
（3）a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数，可得a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3t•2²⁰¹⁴．利用等比数列的前n项和公式可得数列{a_n}前2015项的和S₂₀₁₅=2+t•（2²⁰¹⁶-4）．若数列{a_n}是“Q类数列”，则存在实常数p，q．使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，可得3t•2ⁿ⁺¹=3t•2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，分类讨论即可得出．

解答 （1）解：∵a_n=3n，则a_n+1=a_n+3，n∈N^*，
故数列{a_n}是“Q类数列”，对应的实常数分别为1，3． 
∵b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，
则b_n+1=5b_n，n∈N^*．
故数列{b_n}是“Q类数列”，对应的实常数分别为5，0．
（2）证明：若数列{a_n}是“Q类数列”，则存在实常数p，q，
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
故数列数列{a_n+a_n+1}也是“Q类数列”，对应的实常数分别为p，2q． 
（3）解：a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数，
 则a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3t•2²⁰¹⁴．
故数列{a_n}前2015项的和S₂₀₁₅=2+3t（2²+2⁴+…+2²⁰¹⁴）=2+$3t•\frac{4（{4}^{1007}-1）}{4-1}$=2+t•（2²⁰¹⁶-4）．
若数列{a_n}是“Q类数列”，则存在实常数p，q．
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
而${a}_{n}+{a}_{n+1}=3t•{2}^{n}$，且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹，
则3t•2ⁿ⁺¹=3t•2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
（1）当p=2，q=0时，a_n+1=2a_n，${a}_{n}={2}^{n}$，t=1，经检验满足条件．
（2）当t=0，q=0 时，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{a_n}也是“Q类数列”． 对应的实常数分别为2，0，或-1，0．

点评 本题考查了新定义“Q类数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式”，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．