Question

已知n为常数，函数f（x）=

n-2x

1+n•2x

为奇函数．
（1）求n的值；
（2）当m＞0且x∈[0，1]时，函数g（x）=（4^x+（m+1）•2^x+m）•f（x），其中m为常数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（0）=0．即可求解

n-1

1+n×1

=0，
（2）转化为k（t）=-t²+（1-m）t+m，t∈[1，2，利用对称轴判断单调递减，即可得出k（t）≤k（1）=-1+1-m+m=0．

解答： 解：（1）∵知n为常数，函数f（x）=

n-2x

1+n•2x

为奇函数．
∴f（0）=0．
即

n-1

1+n×1

=0，
n=1，
（2）n=1，f（x）=

1-2x

1+2x

，
∵函数g（x）=（4^x+（m+1）•2^x+m）•f（x），其中m为常数，
∴g（x）=-（2^x）²+（1-m）•2^x+m，
令t=2^x，1≤t≤2，
∴k（t）=-t²+（1-m）t+m，m＞0，
对称轴为t=

1-m

2

＜

1

2

，
∴k（t）=-t²+（1-m）t+m，t∈[1，2]单调递减，
∴k（t）≤k（1）=-1+1-m+m=0，
∴k（t）的最大值为0．
故函数g（x）在区间[0，1]上的最大值0．

点评：本题综合考查了函数的性质，运用求解参变量的值，最大值，关键是转化为二次函数，判断单调性求解，难度不大．