Question

（2013•保定一模）设函数f（x）=

1

3

x3+

a-1

2

x2-ax+a，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0在（0，2）内恰有两个实数根，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在[t，t+2]（t∈（-3，-2））上的最大值为H（t），最小值为h（t），记g（t）=H（t）-h（t），求函数g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导数，分别令导数大于0，小于0，可得单调区间；
（2）由函数的单调性可知原问题等价于f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，解之可得；
（3）由单调性和t的范围可得函数最大值H（t）=f（-1）=

5

3

，最小值h（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，比较可得最小值g（-2）=

4

3

，可得答案．

解答：解：（1）由题意可得f′（x）=x²+（a-1）x-a=（x+a）（x-1），（a＞0）
令f′（x）＞0可得x＜-a，或x＞1，令f′（x）＜0可得-a＜x＜1，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）和（1，+∞），单调递减区间为（-a，1）；
（2）由（1）知f（x）在（0，1）单调递减，（1，2）单调递增，
方程f（x）=0在（0，2）内恰有两个实数根等价于f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，
解得0＜a＜

1

3

，所以a的取值范围为（0，

1

3

）
（3）当a=1时，f（x）=

1

3

x3-x+1，由（1）知f（x）在（-3，-1）单调递增，
在（-1，1）单调递减，所以，当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，
所以函数f（x）在[t，-1]上单调递增，[-t，t+3]上单调递减，
故函数f（x）在[t，t+3]上的最大值H（t）=f（-1）=

5

3

，
而最小值h（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故h（t）=f（t）
所以g（t）=f（-）-f（t），而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）=

1

3

，
所以g（t）在[-3，-2]上的最小值g（-2）=

5

3

-

1

3

=

4

3

，
即函数f（x）在[-3，-2]上的最小值为

4

3

点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及函数的单调性和最值，属中档题．