Question

19．解方程：（3x-1）（$\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1）=0．

Answer 1

分析 利用配方法化简方程，通过构造函数，利用函数的单调性推出方程有唯一解，求出x即可．

解答 解：方程：（3x-1）（$\sqrt{9{x}^{2}-6x+5}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$+1）=0
化为：（3x-1）（$\sqrt{（3{x-1）}^{2}+4}$+1）+（2x-3）（$\sqrt{{（2x-3）}^{2}+4}$+1）=0
令m=3x-1，n=2x-3，方程化为m（$\sqrt{{m}^{2}+4}$+1）+n（$\sqrt{{（2x-3）}^{2}+4}$+1）=0．①
若m=0，则由①得n=0，但m，n不同时为0，所以m≠0，n≠0．ⅰ）若m＞0，则由①得n＜0，设f（t）=t（$\sqrt{{t}^{2}+4}$+1），则f（t）在（0，+∞）上是增函数．
又f（m）=f（-n），
∴m+n=0
ⅱ）若m＜0，且n＞0．同理有m+n=0，
综上m+n=0，
所以3x-1+2x-3=0，所以x=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大．