在平面直角坐标系中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$,现以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）；现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l₁交C于A，B两点；
①求|AB|的值；
②求|PA|+|PB|的值；
③若线段AB的中点为Q，求|PQ|的值及点Q的坐标．

分析（1）利用三种方程的互化方法，即可写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l₁的方程为x-y+1=0，求出弦心距，联立直线方程，即可解决问题．

解答解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数，可得普通方程l：x-y-2=0；
曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ，即ρ²=8ρcosθ，化为直角坐标方程为 x²+y²=8x，即：（x-4）²+y²=16
（2）过点P（-1，0）且与直线l平行的直线l₁的方程为x-y+1=0，
①圆心到直线的距离d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，∴|AB|=2$\sqrt{16-\frac{25}{2}}$=$\sqrt{14}$；
②设AB的中点为Q，则|PQ|=$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PB|=2|PQ|=$5\sqrt{2}$；
③由（2）知$|PQ|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，直线CQ的方程为x+y-4=0，与x-y+1=0联立，可得点Q的坐标$Q（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

点评本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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