Question

如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）设E是PD的中点，求证：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵CD=1，PD=1，PC=，由勾股定理可得，PC²=PD²+CD²，
∴PD⊥CD，BC∥AD，
∴PD⊥AD，又PD⊥BC，DC∩DA=D，
∴PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）连接BD，与AC交于O点，连接OE，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴OE为△PDB的中位线，OE∥PB，
又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（Ⅲ）∵PD⊥面ABCD，PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，
∴V_B-PAC=V_P-ABC
=××1×1×1
=．
分析：（Ⅰ）由ABCD是底面边长为1的正方形，PD=1，PC=，由勾股定理可证得PD⊥DC，又PD⊥BC，从而可证PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）连接BD，与AC交于O点，OE为△PDB的中位线，从而OE∥PB，可证得PB∥平面ACE；
（Ⅲ）利用V_B-PAC=V_P-ABC即可求得三棱锥B-PAC的体积．
点评：本题考查直线与平面垂直与平行的判定，考查三棱锥的体积，考查勾股定理与体积轮换公式的应用，体现线线关系与线面关系转化的化归思想，属于中档题．