Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁与a₄的一等比中项为4

2

，a₂与a₃的等差中项为6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，c_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），请比较c_n与c_n+1的大小，并加以说明．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的性质得到a₂•a₃=a₁•a₄，根据已知条件列出关于a₂，a₃的方程解方程求出a₂，a₃，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式
（2）求出数列{a_n•b_n}的通项，根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减法求出其和．
（3）利用等比数列的前n项和公式求出S_n，将其带代入c_n，表示出c_n+1，作差通过对差的变形，对n的讨论得到差的符号，进一步比较出两个数的大小．

解答：解：（1）由题意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，
解得

a2=4 a3=8

或

a2=8 a3=4

由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，q=

a3

a2

=2
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₂q^n-2=2ⁿ
（2）a_n•b_n=n•2ⁿ
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2T_n=，1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（3）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2
c_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，
c_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
c_n+1-c_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．
当n=1或为正偶数时，c_n+1-c_n＞0，
c_n+1＞c_n；
当n正奇数且n≥3时，c_n+1-c_n=2ⁿ（16-5×2ⁿ）≤2ⁿ（16-5×2³）＜0，
c_n+1＜c_n..

点评：求数列的前n项和的问题，一般先求出通项，判断出通项的特点，利用合适的求和方法求出前n项和，常用的求和方法有：公式法、到序相加法、错位相减法、裂项求和法、分组法．