某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．
（1）设第
年该生产线设备低劣化值为
，求的表达式；
（2）若该生产线前年设备低劣化平均值为
,当达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.
（1）
；（2）第九年.
解析试题分析：（1）可知
时，构成等差数列；
时构成等比数列.然后由条件即可得出的表达式，注意写出分段函数的形式；（2）先写出
即的表达式，然后判定其单调性，得出是增函数，从而求出
时的取值范围.所以得到第九年需要更新该生产线.
试题解析：（1）当时，数列
是首项为4，公差为2的等差数列，
3分
当时，数列是首项为
，公比为
的等比数列，又
，
的表达式为 6分
（2）设
表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当
时，
当时，由
该生产线前n年设备低劣化平均值为
9分
当时，数列
为单调递增数列；
当时，
，
所以为单调递增数列. 11分
又
则第九年需要更新该生产线. 13分
考点：1.等差及等比数列的通项公式；2.等差及等比数列的求和公式；3.数列的单调性.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知Sn是数列{an}的前n项和，且an＝Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝
，Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n，是否存在最大的正整数k，使得
对于任意的正整数n，有Tn＞
恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．
（Ⅰ）求a的值及数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{log
an}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
定义：如果数列
的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数
使得
仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，
.
（Ⅰ）已知
是首项为2，公差为1的等差数列，若
是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列
的首项为2010，
是数列的前n项和，且满足
，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数
，
，和数列1，
，
，（
）提出一个正确的命题，并说明理由．
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中，
，设
．
的前三项；
；
项和为
，
．
的前
项和为
，常数
，且
对一切正整数
，
，当
的前
中，
的值；
是等比数列，并求
.
的所有项均为正数，首项
且
成等差数列.
的前
项和为
若
求实数
的值.
的前n项和为
且
，数列
满足
且
．
为等比数列;