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    若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
    （Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；
    （Ⅱ）已知函数h（x）=lg
    a
    x2+1
    具有性质M，求a的取值范围；
    （Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=
    k
    x
    （k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=logax（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．
    分析：（Ⅰ）把函数f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），解出x0，从而求解；
    （Ⅱ）根据h（x）具有性质M，即存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得到一个关于x0，的方程，其中含有参数a，并对a进行讨论，从而求出a的取值范围；
    （Ⅲ）已知函数y=f（x）恒具有性质M，转化为关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解，因为①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=
    k
    x
    （k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=logax（a＞0且a≠1）的函数，把其代入进行一一验证是否具有性质M；
    解答：解：（Ⅰ）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2得：…（2分）
    即2x0=2，解得x0=1，
    ∴函数f（x）=2x具有性质M．…（4分）
    （Ⅱ）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0，
    ∵h（x）具有性质M，
    ∴存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得lg
    a
    x
    2
    0
    +2
    =lg
    a
    x0+1
    +lg
    a
    2

    化为2（
    x
    2
    0
    +1）=a(x0+1)2+a
    整理得：（a-2）
    x
    2
    0
    +2ax0+2a-2=0有实根…（5分）
    ①若a=2，得x0=-
    1
    2
    ，满足题意
    ②若a≠2，则要使（a-2）
    x
    2
    0
    +2ax0+2a-2=0有实根，只需满足△≥0，
    即a2-6a+4≤0，解得a∈[3-
    		5
    ，3+
    		5
    ]
    ∴a∈[3-
    		5
    ，2）∪（2，3+
    		5
    ]…（8分）
    综合①②，可得a∈[3-
    		5
    ，3+
    		5
    ]…（9分）
    （Ⅲ）解：函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
    ①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，
    整理，得0×x+b=0，
    当b≠0时，关于x的方程（*）无解
    ∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；
    ②若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得x--
    a+b
    2a
    ．
    ∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．
    ③若f（x）=
    k
    x
    （k≠0），则方程（*）可化为x2+x+1无解
    ∴f（x）=
    k
    x
    （k≠0）不具备性质M；
    ④若f（x）=ax，则方程（*）可化为ax+1=ax+a，化简得（a-1）ax=a即ax=
    a
    a-1

    当0＜a＜1时，方程（*）无解
    ∴f（x）=
    k
    x
    （k≠0），不恒具备性质M；
    ⑤若f（x）=logax，则方程（*）可化为loga（x+1）=logax，化简得x+1=x
    显然方程无解；
    ∴f（x）=
    k
    x
    （k≠0），不具备性质M；
    综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）
    点评：此题是一道综合性比较强的题，考查了二次函数的图象和性质的应用，出现了新定义，这是高考的热点，围绕这个新定义出了三问，但是都不是很难，运用了分类讨论的思想，是一道中档题；
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f-1（x），若函数f（x）满足下表：
    精英家教网
    那么，不等式|f-1（x-1）|＜2的解集是（　　）
    A、{x|
    5
    2
    ＜x＜4}
    B、{x|
    3
    2
    ＜x＜3}
    C、{x|1＜x＜2}
    D、{x|1＜x＜5}

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f-1（x），若函数f（x）满足下表：

    那么，不等式|f-1（x-1）|＜2的解集是


    1. A.
      {x|数学公式＜x＜4}
    2. B.
      {x|数学公式＜x＜3}
    3. C.
      {x|1＜x＜2}
    4. D.
      {x|1＜x＜5}

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    科目：高中数学 来源：2010年高考数学专项复习：不等式（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f-1（x），若函数f（x）满足下表：

    那么，不等式|f-1（x-1）|＜2的解集是（ ）
    A．{x|＜x＜4}
    B．{x|＜x＜3}
    C．{x|1＜x＜2}
    D．{x|1＜x＜5}

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若y=f(x)满足下表:

    x

    (-∞,-1)

    -1

    (-1,0)

    0

    (0,1)

    1

    (1,+∞)

    y′

    -

    0

    +

    0

    -

    0

    +

    y

    ↘

    极小

    ↗

    极大

    ↘

    极小

    ↗

    写出一个满足上表的函数___________.

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