Question

已知椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2：

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为

3

2

的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4；若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知c=2，且

a

b

=

2

3

，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在斜率为

3

2

的直线方程y=

3

2

x+m，联立

x2 16 + y2 12 =1 y= 2 3 x+m

，得3x²+3mx+m²-12=0，由题设条件利用根的判别式和点到直线的距离公式能推导出直线l不存在．

解答：解：（1）∵椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），
且长轴长与短轴长的比是2：

3

，
∴c=2，且

a

b

=

2

3

，a²=b²+c²，
∴

4

3

b2=b2+4，解得b²=12，∴a²=16，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假设存在斜率为

3

2

的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4，
设l的方程为y=

3

2

x+m，
联立

x2 16 + y2 12 =1 y= 2 3 x+m

，消去y并整理，得3x²+3mx+m²-12=0，
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴△=9m²-12（m²-12）≥0，
解得-4

3

≤m≤4

3

，
∵原点O与直线l的距离等于4，
∴d=

|m|

9 4 +1

=4，∴m=±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，
∴假设不成立，故直线l不存在．

点评：本题考查椭圆方程的求法，判断满足条件的直线是否存在，具体涉及到椭圆的简单性质、点到直线的距离公式、韦达定理等知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．