Question

（1）求函数f（x）=2sin（π-x）sin（

π

2

-x）+2

3

sin²x-

3

的单调递减区间；
（2）已知tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，并且α，β∈（0，

π

2

），求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式先利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间，即可得到函数的递增区间；
（2）由tanβ的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan2β的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+2β），将各自的值代入求出tan（α+2β）的值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的度数．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）∵tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

3

4

，
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
∵tanα=

1

7

＜1，tanβ=

1

3

＜1，且α，β∈（0，

π

2

），
∴0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，
∴0＜α+2β＜

3π

4

，
∴α+2β=

π

4

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，正弦函数的单调性，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．