Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+\sqrt{a}}$．则S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 计算可得f（x）+f（1-x）=1，再由倒序相加求和，即可得到所求值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+\sqrt{a}}$，
可得f（1-x）=$\frac{{a}^{1-x}}{{a}^{1-x}+\sqrt{a}}$=$\frac{a}{a+\sqrt{a}•{a}^{x}}$=$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+{a}^{x}}$，
即有f（x）+f（1-x）=1，
由S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），
S_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）+f（0），
两式相加，可得2S_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（1）+f（0）]
=1+1+…+1=n+1，
则S_n=$\frac{n+1}{2}$．
故答案为：$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，推出f（x）+f（1-x）=1和运用倒序相加求和是解题的关键，属于中档题．