Question

设不等式所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点(x，y)(x，y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*)．（注：格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点）
(Ⅰ)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；
(Ⅱ)记，若对于任意n∈N*，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)设S_n为数列{b_n}的前n项和，其中，问是否存在正整数n，t，使成立，若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(1)=3，f(2)=6，
由x＞0，0＜y≤-nx+3，得0＜x＜3，
又x∈N*，x=1或x=2，
当x=1，0＜y≤2n时，共有2n个格点；
当x=2，0＜y≤n时，共有n个格点，
故f(n)=n+2n=3n。 
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
则，
当时，，
又，
所以，，故。
(Ⅲ)假设存在满足题意的n和t，
由(Ⅰ)知，故，
则，
变形，得，
即，
∴，
由于n，t均为正整数，所以n=t=1。