Question

12．已知函数f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-a）的定义域为A，值域为B．
（1）当a=5时，求集合A；
（2）设I=R为全集，集合M={x|y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2（a-5）x+4（a-5）-8}$}，若（∁_IM）∪（∁_IB）=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=5时，f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-5），令x+$\frac{6}{x}$-5＞0，解得x∈（0，2）∪（3，+∞）；
（2）∵（C_IM）∪（C_IB）=∅，∴C_IM=∅，C_IB=∅，由于全集I=R，所以，M=B=R，再分类讨论求解．

解答 解：（1）当a=5时，f（x）=log₂（x+$\frac{6}{x}$-5），
令x+$\frac{6}{x}$-5＞0，解得x∈（0，2）∪（3，+∞），
即函数的定义域A={x|0＜x＜2或x＞3}
（2）∵（C_IM）∪（C_IB）=∅，
∴C_IM=∅，C_IB=∅，由于全集I=R，
所以，M=B=R，
①若B=R，即函数f（x）的值域为R，
 只要真数u（x）=x+$\frac{6}{x}$-a可取到一切正实数即可，
 则x＞0且u（x）_min≤0，
∴u（x）_min=2$\sqrt{6}$-a≤0，解得a≥2$\sqrt{6}$，
②若M=R，即函数y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2（a-5）x+4（a-5）-8}$的定义域为R，
 则a=5或$\left\{\begin{array}{l}a-5≠0\\△=4（a-5）2+16（a-5）＜0\end{array}$，
 解得1＜a≤5，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为[2$\sqrt{6}$，5]．

点评 本题主要考查了对数函数的图象与性质，涉及函数的值域和最值，集合的运算，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．