已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.
分析:对于(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域.根据m=5和对数函数定义域的求法可得到:|x+1|+|x-2|>5,然后分类讨论去绝对值号,求解即可得到答案.
对于(2)由关于x的不等式f(x)≥1,得到|x+1|+|x-2|>m+2.因为已知解集是R,根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3,令m+2<3,求解即可得到答案.
解答:解:(1)由题设知:当m=5时:|x+1|+|x-2|>5,
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
,或
,或
,
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞);
(2)不等式f(x)≥1即|x+1|+|x-2|>m+2,
∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
不等式|x+1|+|x-2|>m+2解集是R,
∴m+2<3,m的取值范围是(-∞,1).
故答案为(-∞,1).
点评:此题主要考查绝对值不等式的应用问题,题中涉及到分类讨论的思想,考查学生的灵活应用能力,属于中档题目.