Question

用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的六位数．
（1）这样的六位奇数有多少个？
（2）数字5不在个位的六位数共有多少个？
（3）数字1和2不相邻，这样的六位数共有多少个？

Answer 1

分析：（1）根据题意，首先分析末尾数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，则其他4个数字，排在中间4位，有A₄⁴种排法，由分步计数原理，计算可得答案；
（2）根据题意，数字5不在个位，且0不能在首位，首先不考虑题意要求，计算6个数字排成一排的排法数目，再分别计算数字5在个位，0在首位和5在个位且0在首位的情况数目，进而计算可得答案；
（3）首先计算用这6个数字可以组成没有重复数字的六位数的数目，再计算数字1和2相邻的六位数的数目，由排除法计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有A₃¹种取法，
首位数字不能为0，有A₄¹种取法，
其他4个数字，排在中间4位，有A₄⁴种排法，
则六位奇数共有A₃¹A₄¹A₄⁴=288（个）
（2）根据题意，6个数字排成一排，共有A₆⁶种排法，
数字5不在个位，5在个位的有A₅⁵种情况，
而0不能在首位，0在首位的有A₅⁵种情况，
其中，5在个位且0在首位，即其他4个数字，排在中间4位，有A₄⁴种排法，
则数字5不在个位的六位数共有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504个，
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的六位数，
0不在首位，则首位有A₅¹种情况，其他5个位置有A₅⁵种情况，即可以组成A₅¹A₅⁵个六位数，
其中，数字1和2相邻时的情况有A₄¹A₄⁴A₂²种，即1、2相邻的六位数有A₄¹A₄⁴A₂²个，
则数字1和2不相邻的六位数共有A₅¹A₅⁵-A₄¹A₄⁴A₂²=408个．

点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能为0．