Question

给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；
（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．
解答：解：（1）设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x₁≠x₂，且
=，
∵a≠1，且x₁≠x₂，∴y₂-y₁≠0．
从而直线M₁M₂的斜率，因此，直线M₁M₂不平行于x轴．
（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2），即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，与已知矛盾，∴
这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，
因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．
点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．