Question

已知双曲线与射线y=（x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．
（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；
（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；
（3）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

解：（1）由，得P（2，1），
双曲线的渐近线方程是和，
点P（2，1）到两条渐近线和的距离分别是
和，
∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积
d₁d₂=．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
由，消去y，并整理，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，
∵直线PA与双曲线有两个交点，
∴△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，
即k²-2k+1＞0，
∴k≠1．
故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．
（3）∵P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，
设PA斜率是m，则PB斜率是-m
则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，
分别与双曲线方程联立，得
，
（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，
∵2是方程的一个根，
∴-2，
同理，-2，
∴，
∵，
，
∴y₁-y₂=，
∴==-1．
即直线AB的斜率为定值-1．
分析：（1）由，得P（2，1），双曲线的渐近线方程是和，由此能求出点P到双曲线两条渐近线的距离之积．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为kx-y+1-2k=0，由，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，由直线PA与双曲线有两个交点，知△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，由此能求出k的取值范围．
（3）P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PPA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，分别与双曲线方程联立，得（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，由2是方程的一个根，知-2，同理，-2，所以，由，，所以y₁-y₂=，由此能够证明直线AB的斜率为定值-1．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．