Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}，的第1、3、5项．
（1）求数列{a_n}，与{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}，与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，试求正整数m，使得S_m=T₁₂；
（3）求证：数列{b_n}中任意三项都不能构成等差数列．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以只需求出首项和公差，就可得到通项公式．同样，因为数列{b_n}为等比数列，所以只需求出首项和公比，就可得到通项公式．把a₁，a₄，a₁₆，都用a1，d表示，b₁，b₃，b₅都用b₁，q表示，因为{a_n}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}，的第1、3、5项，可找到含a₁，d，b₁，q的几个等式，解出a₁，d，b₁，q即可
（2）由（2）中所求的a₁，d，b₁，q的值，可求出数列{a_n}，与{b_n}的前n项和S_n与T_n，再令S_m=T₁₂，解出m即可．
（3）用反证法证明，先假设{b_n}中存在三项b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）组成等差数列，根据假设求i，j，k的关系，得出不成立的结论，则假设不成立，命题的证．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，∴a₄=a₁+3d，a₁₆=a₁+15d
又b₁=a₁，b₃=a₄，b₅=a₁₆∴b₃²=b₁b₅
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+15d），∴9a₁d=9d²．∵d≠0，a₁=d．
∴d=1，a_n=n．
又{b_n}的公比为q，∴q²=

b3

b1

=

a4

a1

=4，而b_n＞0，∴q＞0，∴q=2，
∴b=2^n-1．
（2）∵S_m=

m(m+1)

2

，T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1
由S_m=T₁₂，∴

m(m+1)

2

=2¹²-1，∴m²+m-8190=0．
∴m=90，m=-91（舍），∴m=90．
（3）反证法：假设{b_n}中存在三项b_i，b_j，b_k（i＜j＜k）组成等差数列，∴2b_j=b_i+b_k
∴2×2^j-1=2^i-1+2^k-1，（※）∵i＜j＜k，∴j-i∈N^*，k-i∈N^*
∴2^j-i+1=2^k-i+1．∵2^j-i+1是偶数，2^k-i+1是奇数，∴等式（※）不成立．∴反设不真．
∴{b_n}中不存在三项构成等差数列．

点评：本题考查了等差等比数列通项公式，前n项和的求法，以及反证法证明不等式，做题时要细心．