Question

已知无穷数列{a_n}满足a₁=2，数列{(

1

2

)an}是各项和等于

2b

2b+2-4

的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列{(

1

2

)an}的公比和数列{a_n}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中；试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用无穷等比数列的求和公式，可得方程，从而求出公比，进而可求数列的通项；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，再赋值验证；
（3）当b取奇数时，b₃∉{a_n}；当b取偶数时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，再作证明．

解答：解：（1）由

( 1 2 )a1

1-q

=

2b

2b+2-4

即

( 1 2 )2

1-q

=

2b

2b+2-4

得，q=(

1

2

)b--------------（2分）∴(

1

2

)an=(

1

2

)2×[(

1

2

)b]n-1∴a_n=2+（n-1）b，n∈N^*-----------------------------------------------（5分）
（2）∵a₁=2，∴a₂=2+b，又b₁=a₁，b₂=a₂∴bn=b1×(

b2

b1

)n-1=2×(

2+b

2

)n-1，n∈N^*-------------------（6分）
取b=2，则a_n=2n，n∈N^*，b_n=2ⁿ，n∈N^*∴数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中．------------------------（8分）
取b=1，则a_n=n+1，n∈N^*，bn=2×(

3

2

)n-1，n∈N^*∴b3=

9

2

，∴数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中．---------（10分）
（3）当b取奇数时，b₃∉{a_n}；当b取偶数时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中．
证明：b_n=2×（k+1）^n-1=2（C_n-1⁰k^n-1+C_n-1¹k^n-2+…+C_n-1^n-2k+C_n-1^n-1）=2+2k[（C_n-1⁰k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1）-1]
是数列{a_n}中的第C_n-1⁰k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1项----------------（18分）

点评：本题主要考查无穷等比数列的求和公式，考查数列的通项公式，考查学生分析转化问题的能力，有一定的技巧性．