Question

已知 1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，若用不等式的性质求解，容易使未知数的范围扩大，导致结果错误．若把1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，看作是变量x，y的线性约束条件，把求2x-3y的取值范围看作是求目标函数 z=2x-3y范围，就成了一个线性规划问题了．因此可按照解决线性规划问题的方法进行．
解答：解：画出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图所示），
画出直线2x-3y=0，并平移使之经过可行域，观察图形可知，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最小．当直线经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最大．
解方程组得A（2，3），所以z_min=2×2-3×3=-5．
解方程组得B（2，-1），所以z_max=2×2-3×（-1）=7．
所以2x-3y的取值范围是[-5，7]．
点评：本题考查简单线性规划问题，可以作图利用线性规划知识解决，也可以用待定系数法，利用不等式的性质解决，是中档题．