【题目】已知抛物线的内接等边三角形的面积为(其中为坐标原点).
(1)试求抛物线的方程;
(2)已知点两点在抛物线上,是以点为直角顶点的直角三角形.
①求证:直线恒过定点;
②过点作直线的垂线交于点,试求点的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②,是以为直径的圆(除去点.
【解析】
(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由|OA|=|OB|,可得2pxA2pxB,化简可得:点A,B关于x轴对称.因此AB⊥x轴,且∠AOx=30°.可得yA=2p,再利用等边三角形的面积计算公式即可得出;
(2)①由题意可设直线PQ的方程为:x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2).与抛物线方程联立化为:y2﹣my﹣a=0,利用∠PMQ=90°,可得0利用根与系数的关系可得m,或(m),进而得出结论;
②设N(x,y),根据MN⊥NH,可得0,即可得出.
(1)解依题意,设,,
则由,得,
即,
因为,,所以,
故,,
则,关于轴对称,
所以轴,且,
所以.
因为,所以,
所以,
故,,
故抛物线的方程为.
(2)①证明 由题意可设直线的方程为,
,,
由,消去,得,
故,,.
因为,所以.
即.
整理得,
,
即,
得,
所以或.
当,即时,
直线的方程为,
过定点,不合题意舍去.
故直线恒过定点.
②解 设,则,即,
得,
即,
即轨迹是以为直径的圆(除去点).
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(限定).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求与交点的极坐标;
(2)射线与曲线与分别交于点(异于原点),求的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(限定).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求与交点的极坐标;
(2)射线与曲线与分别交于点(异于原点),求的取值范围.
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【题目】已知数集具有性质;对任意的、,,与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)证明:,且;
(3)当时,若,求集合.
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【题目】已知由自然数组成的元集合,非空集合,且对任意的,都有.
(1)当时,求所有满足条件的集合;
(2)当时,求所有满足条件的集合的元素总和;
(3)定义一个集合的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该集合的元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是,集合的交替和为.当时,求所有满足条件的集合的“交替和”的总和.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.
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【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,对唐三彩的复制和仿制工艺,至今也有百余年的历史,某陶瓷厂在生产过程中,对仿制的100件工艺品测得其重量(单位: )数据,将数据分组如下表:
(1)在答题卡上完成频率分布表;
(2)以表中的频率作为概率,估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是2.25作为代表.据此,估计这100个数据的平均值.
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