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【题目】已知抛物线的内接等边三角形的面积为(其中为坐标原点).

(1)试求抛物线的方程;

(2)已知点两点在抛物线上,是以点为直角顶点的直角三角形.

①求证:直线恒过定点;

②过点作直线的垂线交于点,试求点的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.

【答案】(1);(2)①证明见解析;②,是以为直径的圆(除去点.

【解析】

1)设AxAyA),BxByB),由|OA|=|OB|,可得2pxA2pxB,化简可得:点AB关于x轴对称.因此ABx轴,且∠AOx=30°.可得yA=2p,再利用等边三角形的面积计算公式即可得出;

2)①由题意可设直线PQ的方程为:xmy+aPx1y1),Qx2y2).与抛物线方程联立化为:y2mya=0,利用∠PMQ=90°,可得0利用根与系数的关系可得m,或m),进而得出结论;

Nxy),根据MNNH,可得0,即可得出.

(1)解依题意,设

则由,得

因为,所以

关于轴对称,

所以轴,且

所以.

因为,所以

所以

故抛物线的方程为.

(2)①证明 由题意可设直线的方程为

,消去,得

.

因为,所以.

.

整理得

所以.

,即时,

直线的方程为

过定点,不合题意舍去.

故直线恒过定点.

②解 设,则,即

即轨迹是以为直径的圆(除去点).

练习册系列答案
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分组

频数

频率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30)

2

0.05

合计

M

1

(1)求出表中M,p及图中a的值;

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