Question

如图23,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=α(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q.

图23

(1)求∠POQ的大小;

(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由.

Answer 1

思路分析:(1)利用OP⊥CD,OQ⊥CB找到∠PCQ与∠POQ的关系.?

(2)先设法寻求∠DOE与已知角的关系,利用OD平分∠CDE,OE平分∠CED,以及三角形内角和定理求解.

解:(1)∵AC =BC,∴∠OAP =∠OBQ =α.?

∵⊙O与AC、BC分别相切于P、Q,?

∴∠OPA =∠OQB =90°.?

∴∠AOP =∠BOQ = 90°-α.?

∴∠POQ =180°-2(90°-α)=2α.?

(2)∵⊙O内切于△CDE,　　

∴DO、EO分别平分∠CDE、∠CED.?

∴∠ODE =∠CDE,∠OED =∠CED.?

∴∠ODE +∠OED = (∠CDE +∠CED).?

又∠CDE +∠CED =180°-∠C,∠ODE+∠OED=180°-∠DOE,?

∴∠DOE =90°+∠C.?

∵∠C =180°-(∠CAB +∠CBA)=180°-2α,?

∴∠DOE =180°-α,即∠DOE为定值.