Question

【题目】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

求出原函数的定义域，要使原函数在定义域内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围．

由x+2＞0，得x＞﹣2，所以函数f（x）x2+bln（x+2）的定义域为（﹣2，+∞），

再由f（x）x2+bln（x+2），得：

要使函数f（x）在其定义域内是单调减函数，则f′（x）在（﹣1，+∞）上恒小于等于0，

因为x+2＞0，

令g（x）＝x2+2x﹣b，则g（x）在（﹣1，+∞）上恒大于等于0，

函数g（x）开口向上，且对称轴为x＝﹣1，

所以只有当△＝22+4×b≤0，即b≤﹣1时，g（x）≥0恒成立．

所以，使函数f（x）在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是（﹣∞，﹣1]．

故选：C．