Question

（2009•武昌区模拟）已知函数f（x）（x∈R）的一段图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，给出以下结论：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④

lim

x→0

f(x)=f(0)
其中一定正确的是（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：y=f（x+1）是奇函数，y=f（x+1）的图象关于原点对称，y=f（x）的图象关于（1，0）对称．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确，由函数在x=0处有意义知④正确，根据函数的单调性和函数的值得到②③不正确．

解答：解：解：∵y=f（x+1）是奇函数，
∴y=f（x+1）的图象关于原点对称，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）对称．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确；
由函数图象可知函数在x=0处有意义，
所以

lim

x→0

f(x)=f(0)．④正确；
∵f′（x）是函f（x）的导函数．
函数的图象是单调递增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正确，即②不正确；
f（x）（x-1）≥0不正确；
综上可知只有①④正确．
故选B．

点评：本题考查了极限及其运算，考查了函数的导数与原函数图象间的关系，是基础题．