【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)证明当时,
;
(Ⅲ)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)整数
的最小值为2.
【解析】试题分析:(1)求出导数,解即可求出单减区间;(2)由(Ⅰ)得:
在
递减,∴
,故
,
时,
,分别令
,累加即可得证;(3)由
恒成立得
在
上恒成立,问题等价于
在
上恒成立,只需利用导数求
的最大值即可.
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以
此时,
,
由,得
,又
,所以
,所以
的单调减区间为
.
(Ⅱ)令,由(Ⅰ)得:
在
递减,∴
,
故,
时,
,分别令
,
故
,
∴时,
.
(Ⅲ)由恒成立得
在
上恒成立,问题等价于
在
上恒成立.
令,只要
.
因为,令
,得
.
设,
在
上单调递减,不妨设
的根为
.当
时,
;当
时,
,
所以在
上是增函数;在
上是减函数.
所以
.
因为,
,所以
,此时
,即
.
所以整数的最小值为2.
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【题目】已知函数
(1)若不等式恒成立,则实数
的取值范围;
(2)在(1)中, 取最小值时,设函数
.若函数
在区间
上恰有两个零点,求实数
的取值范围;
(3)证明不等式: (
且
).
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【题目】邗江中学高二年级某班某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件,求事件
发生的概率;
(2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线的斜率;
(Ⅱ)判断方程(
为
的导数)在区间
内的根的个数,说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,求
的取值范围.
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【题目】把长和宽
分别为
和2的长方形
沿对角线
折成
的二面角
,下列正确的命题序号是__________.
①四面体外接球的体积随
的改变而改变;
②的长度随
的增大而增大;
③当时,
长度最长;
④当时,
长度等于
.
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【题目】【2018届北京市海淀区】如图,三棱柱侧面
底面
,
,
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求三棱柱的体积;
(Ⅲ)在直线上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
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【题目】如图矩形中,
.点
在
边上,
且
,
沿直线
向上折起成
.记二面角
的平面角为
,当
时,
①存在某个位置,使;
②存在某个位置,使;
③任意两个位置,直线和直线
所成的角都不相等.
以上三个结论中正确的序号是
A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
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