Question

已知数列{a_n}是正项等比数列，公比q≠1，若lga₂是lga₁和1+lga₄的等差中项，且a₁a₂a₃=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设cn=

1

n(3-lgan)

(n∈N*)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题知2lga₂=lga₁+（1+lga₄）=lg（10a₁a₄），即

a

2 2

=10a1a4，利用等比数列的通项，代入可求公比q，进而可求a₁，通项
（2）由（1）得cn=

1

n(3-lgan)

=

1

n(3-lg102-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项相消可求和

解答：解：（1）由题知2lga₂=lga₁+（1+lga₄）=lg（10a₁a₄），
∴

a

2 2

=10a1a4，即

a

2 1

q2=10

a

2 1

q3．
∵a₁＞0，q＞0，∴q=

1

10

．
∵等比数列{a_n}中，a₁a₂a₃=1，
∴a₂=1，∴a1=

a2

q

=10，
故{a_n}的通项公式为an=a1qn-1=10×(

1

10

)n-1=102-n．…（7分）
（2）由（1）得cn=

1

n(3-lgan)

=

1

n(3-lg102-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=c1+c2+…+cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和是数列求和中的常用方法，要注意掌握