Question

（本题满分13分）

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小

（3）求点C到平面PBD的距离.

 

Answer 1

【答案】

⑴见解析；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：方法一：⑴证：在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A   ∴BD⊥平面PAC.

解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，

知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.  又∵PA=AD，∴∠PDA=45⁰ . 二面角P—CD—B余弦值为。

（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，

由，有，即，得

方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴  

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分

解：（2）由（1）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴  故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.           ……………………………7分

设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得 . ……………………………9分

（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，

则，即，∴x=y=z，故可取为.  ………11分

∵，∴C到面PBD的距离为              …………………13分

考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。

点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角；  ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。