Question

8．在半径为R的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为（　　）

• A． （3-2$\sqrt{2}$）R
• B． （4-2$\sqrt{3}$）R
• C． （5-2$\sqrt{6}$）R
• D． （6-2$\sqrt{7}$）R

Answer 1

分析 我们易将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2r，正四面体的外接球半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的球体重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．

解答 解：由已知中四个半径都是r的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，
然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，
连接四个球的球心，得到一个棱长为2r的正四面体
则该正四面体的外接球半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$r
若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径为r₁=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）r，
另有一个更大的球与这四个球都内切，更大球的R=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1）r．
∴r₁=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1}$R=（5-2$\sqrt{6}$）R，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为1的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．