Question

（08年长郡中学一模文）（13分）在平面直角坐标系中，已知定圆F:（F为圆心），定直线,作与圆F内切且和直线相切的动圆P，

 (1)试求动圆圆心P的轨迹E的方程。

（2）设过定圆心F的直线自下而上依次交轨迹E及定园F于点A、B、C、D，

①是否存在直线，使得成立？若存在，请求出这条直线的方程；若不存在，请说明理由。

 ②当直线绕点F转动时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

 

Answer 1

解析：（1）设动圆心P(x,y)

因为动圆P与定园F内切，则      

若则

若则 

故动圆心P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线,

其方程为：                                       ……4分

(2) ①当直线m的斜率存在， 由

设则       

而

若则无解，此时不存在。       ……8分

当直线m的斜率不存在时，则，显然成立.

故存在直线m使成立.此时直线m:             ……9分

②当直线m的斜率存在时，由①

当直线m的斜率不存在时，

            

 故对于任意的直线m,为定值.                      ……13分