Question

已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

（x＞1或x＜-1），
（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[3，5]时，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）利用函数f（x）在x∈[3，5]上的单调性，求f（x）的最小值和最大值．

解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上是减函数；
证明：设1＜x₁＜x₂，设g（x）=

x+1

x-1

，
则g(x1)-g(x2)=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）=

x+1

x-1

在（1，+∞）上是减函数，
又∵y=log₂x在定义域上单调递增，
∴根据复合函数的单调性的性质可知，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）由（1）知f（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴函数f（x）在x∈[3，5]上的单调递减，
∴f（x）的最小值为f（5）=log2

3

2

，最大值为f（3）=1．

点评：本题主要考查对数函数的性质，以及函数单调性的判断和证明，利用函数的单调性是求函数的最值的基本方法．