Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），且当x∈（0，1）时，f（x）=x²-x，则f（

3

2

）=（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  1

  4

• C、-

  1

  4

• D、-

  3

  4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：对?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），分别取x=

3

2

，2可得f(

3

2

)=f(-

1

2

)-f(2)，f（2）=f（0），利用f（x）是定义在R上的奇函数，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，f（2）=f（0）=0．即可得出f(

3

2

)=-f(

1

2

)，再利用已知即可得出．

解答： 解：∵对?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），
∴f(

3

2

-2)=f(

3

2

)+f（2），f（2-2）=2f（2），
化为f(

3

2

)=f(-

1

2

)-f(2)，f（2）=f（0），
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(-

1

2

)=-f(

1

2

)，f（2）=f（0）=0．
∴f(

3

2

)=-f(

1

2

)，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=x²-x，
∴f(

1

2

)=(

1

2

)2-

1

2

=-

1

4

．
∴f(

3

2

)=

1

4

．
故选：B．

点评：本题考查了抽象函数的性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．