【题目】如图，在空间之间坐标系
中，四棱锥
的底面
在平面
上，其中点
与坐标原点
重合，点
在
轴上，
，
，顶点
在
轴上，且
，
.
（1）求直线
与平面
所成角的大小；
（2）设
为
的中点，点
在
上，且
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）列出
、
、
、
、
的坐标，计算出平面
的一个法向量
，利用空间向量法计算出直线
与平面所成角的正弦值，即可得出直线与平面所成角的大小；
（2）求出点
、
的坐标，计算出平面
和
的法向量
、
，利用空间向量法求出二面角
的余弦值的绝对值，由此可得出二面角的正弦值.
因为四棱锥
的底面
在平面
上，
其中点与坐标原点
重合，点在
轴上，
，
，
顶点在
轴上，且
，
，
所以
，
，
，
，
.
（1）
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
，得
.
所以
.
所以直线与平面所成角的大小为；
（2）因为为
的中点，点在
上，且
，所以
，
.
设平面的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
，得
.
又平面的一个法向量为
，所以
.
所以二面角的正弦值为.
百年学典课时学练测系列答案
仁爱英语同步练习册系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知双曲线E：
－
＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，M为OA的中点，若以AM为直径的圆与E的渐近线相切，则双曲线E的离心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，已知圆
圆心为
，过点
且斜率为
的直线与圆相交于不同的两点
、
．
（
）求的取值范围；
（
）是否存在常数，使得向量
与
共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地举行水上运动会，如图，岸边有
两点，
，小船从
点以
千米/小时的速度沿
方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过
小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）
（1）若
，
，运动员从
处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从处沿射线
方向在岸边跑步匀速行进
小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，左顶点为
，离心率为
，点
是椭圆上的动点，
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线
与椭圆相交于不同的两点
，
，线段
的中垂线为
.若直线与直线相交于点
，与直线
相交于点
，求
的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知抛物线
和⊙
：
，过抛物线C上一点
（
）做两条直线与⊙相切于
两点，分别交抛物线于
两点.
（1）当
的角平分线垂直
轴时，求直线
的斜率；
（2）若直线
在
轴上的截距为
，求的最小值.
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