Question

15．已知函数f（x）=2a[1+sin$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）]+b．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，化简f（x），利用辅助角公式求出函数f（x）的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．
（2）求出函数f（x）的解析式，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$+b=1+cosx+sinx+b=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+b+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z；
（2）f（x）=2a[1+sin$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）]+b=a（sinx+cosx）+a+b=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+a+b，
当a＞0，且x∈[0，π]时，$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∵f（x）的值域是[3，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}a+a+b=4}\\{\sqrt{2}a•（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+a+b=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．