【题目】【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学(理)】
已知函数.
(1)当时,试求函数图像过点
的切线方程;
(2)当时,若关于
的方程
有唯一实数解,试求实数
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,且不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】试题分析:对于(1),先利用导数求出切线的斜率,再写出点斜式方程;
对于(2),方程可化为:
,构造
,通过研究
的单调性即可求出
的范围.
对于(3),首先根据有两个极值点
,利用导数求出
的取值范围以及极值点;将
恒成立转化为
恒成立,然后构建函数求出
的最小值即可.
试题解析:
(1)当时,有
.
∵,∴
,
∴过点的切线方程为:
,
即.
(2)当时,有
,其定义域为:
,
从而方程可化为:
,
令,则
,
由或
;
.
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减,
且,
又当时,
;当
时,
.
∵关于的方程
有唯一实数解,
∴实数的取值范围是:
或
.
(3)∵的定义域为:
.
令.
又∵函数有两个极值点
,
∴有两个不等实数根
,
∴,且
,
从而.
由不等式恒成立
恒成立,
∵,
令,
∴,当
时恒成立,
∴函数在
上单调递减,∴
,
故实数的取值范围是:
.
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点
,
,且
.
(Ⅰ)求直线与
交点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹C交于P,Q,过P作
轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若
,求证:
.
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【题目】某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为2.10元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元.已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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【题目】(本小题满分14分)
某公司经销某产品,第天
的销售价格为
(
为常数)(元∕件),第
天的销售量为
(件),且公司在第
天该产品的销售收入为
元.
(1)求该公司在第天该产品的销售收入是多少?
(2)这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大?最大收入为多少?
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【题目】如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( )
A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576
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【题目】已知函数的定义域为
,对任意实数
,都有
.
(1)若,
,且
,求
,
的值;
(2)若为常数,函数
是奇函数,
①验证函数满足题中的条件;
②若函数求函数
的零点个数.
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