Question

如图，有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为y=-2x²+2（-1≤x≤1）．计划将此钢板切割成等腰梯形，切割时以边缘的一条线段为梯形的下底．
（1）若梯形上底长为2x，试求梯形面积S关于x的函数关系式；
（2）求梯形面积S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）由已知抛物线弧的方程为y=-2x²+2（-1≤x≤1）．求出梯形的上底，下底及高，代入梯形面积公式，可得梯形面积S关于x的函数关系式；
（2）利用导数法，分析（1）中函数关系式的单调性，进而可得梯形面积S的最大值．

解答： 解：（1）令y=-2x²+2=0，解得x=±1，
故梯形的下底长为2，
由梯形上底长为2x，可得梯形的高为-2x²+2，
故梯形面积S=

1

2

（2+2x）（-2x²+2）=-2x³-2x²+2x+2（-1≤x≤1），
（2）由（1）得：S′=-6x²-4x+2（-1≤x≤1），
令S′=0，解得：x=-1，或x=

1

3

，
当-1≤x＜

1

3

时，S′＞0，函数为增函数；当

1

3

＜x≤1时，S′＜0，函数为减函数；
故当x=

1

3

时，S最大值为：

32

27

．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．