Question

已知直线l与抛物线y²=4x交于A、B两点，与准线交于C点，与x轴交于D（3，0）点，B在线段AC上，若|BC|：|AD|=1：3，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为：y=k（x-3），A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），联立抛物线方程，求出：x_A，x_B，由|BC|：|AD|=1：3，可得：（x_B+1）：（x_A-3）=1：3，解出k值，代入可得直线l的方程．

解答： 解：设直线l的方程为：y=k（x-3），A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），
则由

y2=4x y=k(x-3)

得：k²x²-（6k²+4）x+9k²=0，
解得：x_A=

3k2+2+2 3k2+1

k2

，x_B=

3k2+2-2 3k2+1

k2

，
∵|BC|：|AD|=1：3，
∴（x_B+1）：（x_A-3）=1：3，
即x_A-3x_B-6=0，
即

3k2+2+2 3k2+1

k2

-3×

3k2+2-2 3k2+1

k2

-6=0，
即

-12k2-4+8 3k2+1

k2

=0，
即-3k2-1+2

3k2+1

=0，
解得：k=±1，
故直线l的方程为：y=（x-3），或y=-（x-3），
即x-y-3=0，或x+y-3=0

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线的方程，是直线与圆锥曲线的简单综合应用，难度中档．