Question

已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.
(1) 求动点 M的轨迹 C的方程；
（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.

Answer 1

设点，则         …… 1分
∵  
∴   ……… ……… ……… 2分
∴点 M的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆……… …… ……… 4分
∴   ∴   
∴ 动点M的轨迹 C的方程为    ……… ……… ……… 6分
 
(2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，             
设满足条件的直线、存在，直线的方程为  ①
则直线的方程为，② ……… ……… ……… 7分
将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.
将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.
由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分
∴或    ④…………………………………………12分
∵方程④或.
∴即满足条件的直线、存在，共有3组．

解析