Question

5．若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得，ax²=e^x有解，运用参数分离，再令$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．

解答 解：根据题意，函数y=ax²（a＞0）与函数y=e^x在（0，+∞）上有公共点，
令ax²=e^x得：$a=\frac{e^x}{x^2}$，
设$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$则$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}-2x{e^x}}}{x^2}$，
由f'（x）=0得：x=2，
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，函数$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在区间（0，2）上是减函数，
当x＞2时，f'（x）＞0，函数$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在区间（2，+∞）上是增函数，
所以当x=2时，函数$f（x）=\frac{e^x}{x^2}$在（0，+∞）上有最小值$f（2）=\frac{e^2}{4}$，
所以$a≥\frac{e^2}{4}$．
故答案为：$[{\frac{e^2}{4}，+∞}）$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．